Континуум-гипотеза простыми словами

Ad infinitum

Ещё один нетипичный для этого блога пост. Эта статья никак не поможет вам стать хорошим менеджером, в отличие от большинства местных статей.

Хочу рассказать о чрезвычайно заинтересовавшей меня математической проблеме, занимающей первый номер в списке 23 проблем Гилберта. Это такой список математических задач, который Дэвид Гилберт предложил в 1900 году в качестве задания человечеству на двадцатый век.

На первом месте там континуум-гипотеза. Заглянем в Википедию:

Понятно, что ничего непонятно. Что такое «континуум»? Что такое «счётное»? Что такое «мощность»? Об этом в Википедии не сказано. И я постараюсь объяснить это простыми словами так, как в конце концов понял сам.

Нас в школе учили, что существуют тупо числа. Есть натуральные числа ℕ: 1; 2; 3; 4; 5. Есть вещественные числа ℝ: -1; 1,025; 2,5.

Но нам не рассказывали, что число может означать две вещи, две концепции. Это либо количество чего-нибудь (пять бутылок водки), либо номер элемента по порядку (это уже пятая бутылка водки). Не рассказывали, потому что эти числа обладают одинаковыми свойствами. Если к пяти бутылкам водки прибавить одну, станет шесть бутылок. Если после пятой бутылки выпить ещё одну, она будет шестой по порядку. Количественные числа называются кардиналами, а порядковые ординалами.

А сколько существует натуральных чисел? Бесконечно много. Мы не можем написать самое большое натуральное число арабскими цифрами, таковы его свойства. Но мы можем задать его математически. Слово «количество элементов» к такому множеству неприменимо, говорят «мощность». Так вот, мощность такого множества ℵ₀ (читается «алеф ноль»)

Так вот, такая бесконечность называется «счётной». Потому что каждому элементу этого множества может быть сопоставлен порядковый номер¹.

Теперь поговорим о континууме.

Сколько вещественных чисел между 0 и 1? Можно с уверенностью сказать, что между ними есть 0,5. Но между 0 и 0,5 есть 0,25. Между 0 и 0,25 есть 0,125. А между 0,25 и 0,5 есть 0,375. Между двумя любыми вещественными числами, находящимися на этом отрезке, есть вещественное число. И это новое свойство, которым не обладала счётная бесконечность.

Мощность этого множества принято называть ℵ₁ (читается «алеф один»). Вот это и есть континуум или несчётная бесконечность.

Континуум ведёт себя своеобразно. Если вы вытащите из рулетки линейку в сантиметр и подсчитаете количество вещественных чисел между 0 и 1, их будет ℵ₁. А сколько будет вещественных чисел, если отмотать эту рулетку, скажем, до Плутона²? Вы удивитесь, но ℵ₁. Часть равна целому. Так ведут себя бесконечности. Вы скажете, это нелогично. А я отвечу, что вы никогда не видели и не увидите бесконечность, что счётную, что континуальную и бытовая логика к ним неприменима. Георг Кантор, который всё это исследовал, в итоге уехал в дурку³.

Совершенно очевидно, что ℵ₁ больше ℵ₀. Но насколько?

Континуум гипотеза предполагает, что:

2^{\aleph_0}=\aleph_1

Читается «Булеан от алеф ноль равен алеф один».

Здесь надо разобраться, что такое «булеан». Это множество всех подмножеств данного множества. Это как? Допустим, A = {1,2} (множество А состоит из элементов 1 и 2). Тогда множество всех подмножеств будет 4, потому что все его подмножества {1}, {2}, {1,2}, {∅} (последний значок означает пустое множество⁴).

Можно заметить, что мощность множества всех подмножеств данного множества — это двойка в степени мощности этого множества. Например, булеан множества из 10 элементов, это 2¹⁰ = 1024.

Получая булеан от бесконечного количества элементов, мы получаем принципиально новую, более мощную бесконечность.

Таким образом, формулировка континуум-гипотезы из формулы выше буквально означает: мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел равна или не равна мощности континуума?

Каков ответ на этот вопрос?

До континуум-гипотезы в математике было мнение, что любую гипотезу можно либо доказать, либо опровергнуть, она либо верна, либо неверна. Как оказалось, есть недоказуемые гипотезы, если решение таких гипотез есть, их невозможно найти, если их нет, их отсутствие невозможно строго доказать.

Означает ли это, что над бесконечностями можно проводить операции? Да.

Для бесконечностей существует очень простая арифметика, которая логически следует из предыдущих разговоров. Сложение двух счетных мощностей дает счетную мощность, а для континуумов – мощность континуума. При вычитании из мощности континуума счетной – в остатке мощность континуума. Но вот если вычитать из континуума континуум или из счетной мощности счетную – без полбанки уже не разобраться.

Так что в итоге означает формулировка из начала статьи? Что у нас, грубо говоря, два вида бесконечностей — счётная и континуум. Между ними нет никаких промежуточных бесконечностей. Можете считать, что это так. А можете считать, что есть и другие бесконечности. Самое интересное, что математика от этого выбора никак не зависит. Такая вот великая задача.

1. Самое парадоксальное, что для счётной бесконечности есть число, обозначающее номер элемента, идущего сразу после последнего элемента. Его нельзя выразить натуральным числом, но можно задать математически и его называют ω (читается «омега»). Более того, к нему можно прибавить единицу, двойку или ещё одну омегу, встав на путь к ε₀ (читается «эпсилон нулевой») «малому ординалу Кантора» (эта штучка оказалась нужна для доказательства непротиворечивости арифметики) и другим весёлым трансфинитным ординалам, но эти мозговые изъёбства лежат за пределами этой статьи. ↩︎
2. По земным меркам это расстояние составляет 4,4 млрд км или 29 астрономических единиц (переведите в сантиметры самостоятельно), но это при максимальном приближении Плутона к третьей планете от Солнца. При удалении расстояние увеличивается до 7,3 млрд км или 49 а. е. При расчете требуется брать во внимание орбитальный наклон в 17 градусов. С учетом всех особенностей, среднее расстояние определяется показателем в 5,91 млрд км или 40 а. е. ↩︎
3. Георг Кантор от скромности не страдал. Он настаивал как раз на том, что теория множеств транслируется через него Самим Богом. Мессианское наваждение прогрессировало до того, что в трактате «Ex Oriente Lux» ему потребовалось доказательство, что Иисус Христос тоже имел земного отца, будучи внебрачным сыном Иосифа Аримафейского — старейшины Синедриона, в гробницу которого был перенесен Христос после распятия. ↩︎
4. На первой лекции по теории множеств вам расскажут, что ∀А: ∅⊂А, однако ∀А: ∅∉А. Что означает эта марсианская рунопись на человеческом языке? Всё просто. Пустое множество всегда является подмножеством любого множества, но любое множество не содержит пустое множество в качестве элемента. ↩︎